——基本活动经验的积累

马鞍山市第十二中学  戴鲁锋

摘要：随着我国基础教育改革的推进,新的教育理论与教学方式不断引起人们的关注与实践,数学课程标准(修订稿)从课程目标上对数学活动经验提出了要求。 教育的目的也明确为培养有创新意识和创新能力的人，而创新需要知识和思维方法，数学的核心素养中的思维方法最本质和核心的就是基本活动经验。本文首先阐述了对基本数学活动经验的认识、数学活动经验的特点、数学活动经验的类别，再结合案例分析，探索了促进初中生数学基本活动经验积累的教学策略。

关键词：课堂教学  数学活动经验 策略

传统数学教学重视培养学生的三基（基础知识、基本技能、基本思想）和三大基本能力(即运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力)，现代社会发展对未来公民的数学能力提出了更丰富的内涵与更高要求：数学能力包括实验观察、信息获取、数据处理、模式抽象、合情推理、预测猜想、逻辑证明、探究创造等等。在新课程标准下，特别强调合情推理以及其他非形式化的思维(如直觉、联想、顿悟等)所具有的数学创造性。正如哲学家康德所说：“每当理智缺乏时靠论证的思路时，相似思考(联想)往往指导我前进”。因此，我们在数学学习过程中加强数学三大能力外还必须重视积累丰富的活动经验来培养学生的能力。

一、对基本数学活动经验的认识

数学学习需要有较强的逻辑思维能力、形象思维能力和直觉思维能力，要处理多级抽象概括的数学知识经验，进行形式符号语言的运算推理。我们把基本数学活动经验大致分为：日常生活中的数学经验，社会科学文化情境中的数学经验，从事纯数学活动积累的数学经验。记得已故著名数学教育家余元希先生说过，可以直接应用于日常生活的数学，不过是“扩大了的算术”。至于中学的其他数学修养，都是为了适应现代社会的文化环境、科学精神、思维训练等所必须具备的文化素养。但是，基本数学活动是否还包括“模式直观”、“解题经历”、“数学想象力”、“数学美学欣赏”等能力，因此值得探讨。

此外，一个突出的问题是，“前三基”都是客观的数学问题，可以定出一般的要求，但是数学活动经验则是因人而异，涉及个人的生活环境、感受、感悟数学水平的高低等。如何制定人人适合的基本要求，一个新的课题放在我们面前，这就要求我们走在第一线的教师去进一步的深刻研究。

作为教师应遵循数学学习的认知规律，通过对教材的创造性再加工、再设计，使教学内容变得丰富、生动，更加有利于学生主动进行观察、操作、实验、猜测、推理与交流等数学活动，真正让学生将生活问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，获取广泛的数学活动经验，使数学教学成为一个生动活泼、主动而富有创造意义的过程，最大限度地促进学生的能力发展。而世界上的事物都是相互联系、相互影响的，联系导致了联想。联想丰富是思维灵活的表现，其特征是思维灵活多变，不受思维定势限制，善于从多角度、多方面去观察和思考问题，从而寻求正确的解答。联想也是一种创造性思维，联想的结果往往是能从给定的信息中产生新的信息、发现新的方法、寻找新的规律、探索新的科学。联想能力就是依据原有知识经验或生活经验，能够迅速从大脑中搜索出来，进行有效的比较选择，进而重现或重新组合，以达到解决问题的能力。

二、数学活动经验的特点

（一）个体性。数学基本活动经验是基于学生个人的，它带有明显的学生个性特征。数学基本活动经验是属于学生自己的。

（二）实践性。数学基本活动经验是学生在学习过程中获得的，离开了实践活动就不能形成有意义的数学活动经验。

（三）多样性。学习群体针对同一数学对象，尽管学习环境等外部条件相同。但每一个学生仍然可能会有不同的活动经验。所以，对学习群体来说，数学活动经验具有多样性。对学生个体而言，如果活动方式多样，获得的经验也是多样的。

（四）发展性。数学基本活动经验是反映学生在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性认识，是感性的、非严格性的，随着学习内容的深入，获得的活动经验会不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的“经验交流”中会相互补充、相互充实，丰富、发展个体的活动经验。（例如对长方体、正方体、圆柱体的认识）

三、数学活动经验的类别

（一）根据所从事的数学活动的不同形式，数学活动的经验可以分为以下四种。

1.直接数学活动经验

直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验。（例如：科学计数法、负数的认识）

2.间接数学活动经验

创设实际情境构建数学模型所获得的经验。（例如：七年级下册乘法公式的推导可应用数形结合的方式。）

3.专门设计的数学活动经验。

由纯粹的数学活动所获得的经验。（例如平行四边形的认识中，课堂教学中设计由学生用两个全等的三角形去拼接。）

4.意境联结性数学活动经验

通过实际情境、意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质。（例如二元一次方程应用之“鸡兔同笼”）

（二）根据数学数学活动可以分为思维的操作活动和行为的操作活动，经验可以分为感性经验和逻辑经验，数学活动经验可分为以下四种。

1.行为操作的经验

来自外显行为操作活动中的感觉、知觉经验，属于直接经验。比如摸一摸长方体面、棱,实验推导扇形的面积公式等。

2.探究的经验

既有外显行为的操作活动，也有思维层面的操作活动，是并不完全脱离行为操作的数学活动。例如：探究平行四边形的性质、推导求根公式等。

3.思考的经验

在思维操作的活动中不借助外在的实物进行内在思维活动获得的经验。

（例如：正反比例函数的性质）

4.复合的经验

兼有以上两种以上的经验。

四、促进学生积累数学活动经验的教学策略

㈠把原有经验迁移为新知经验——预设数学活动经验的“生长点”

案例一：《一次函数的图象》（1课时）

在学生学习“一次函数的图象“时，已有的知识经验是正比例函数的图象和性质以及实际生活中一次函数解析式的求解，因此我布置预习作业：正比例函数与的图象、画法及其性质，从中复习体验数形结合的思想方法，然后再通过阅读方式看该节内容，并做好课后的练习，这样就较好地衔接到一次函数的学习，为课堂教学时采用类比方法探究一次函数。与的图象、画法及其性质作下伏笔。

又如案例：“线段的比”

1．做一做

在上“线段的比”这一课的前一天布置任务：每人画一幅平面示意图《我们的班级》或《我的小书房》．

2．说一说

在上“线段的比”这一课的开始时，请部分学生在实物投影仪下展示自己画的示意图，说说自己是怎么画的。

教师提出问题：怎样才能画得更好？

在这个例子中，探究活动从课外延伸到课内，使学生有机会经历和体验数学知识产生、形成过程，每位学生在画图时，还没有学习“线段的比”这一内容，因此学生会遇到一些困难，例如怎样构图，如何刻画物体与物体之间的位置关系，如何用图形描述物体的大小等等，这些都具有一定的挑战性，使得该探究活动具有一定的思维容量，促使学生产生联想。而如果把它放在学了“线段的比”后再布置这一活动，显然会失去探究的价值，因此本例能激发学生探究意识和深入挖掘其中的数学知识的愿望，特别在采用浙教版后课时的学习内容较多，要留一定的时间让学生探究，如学习统计和概率内容等等更要学生在课前认真预习好。

实践证明：在数学课中宜用自学式预习法——细致地阅读和研究新课内容，并且能根据课前的数学活动经验与课后练习或配套的练习题来验证自己掌握的水平、程度及能力。从而不断提高学生的数学活动经验，为培养学生的基本能力创造条件。

案例二：平行四边形的性质（1）

在沪科版教材八年级下册平行四边形性质的教学过程中，“拼接法”对学生从三角形转化到平行四边形发挥着重要的桥梁作用。通过分析大量课例，不难发现，“拼接法”的出现要么是由教师直接提出的，要么是经过了课堂上的层层铺垫和多方暗示后才由个别这生提出来的。显然，“拼接法”不是来源于学生的“自主发现和选择”，而是“被发现”的结果。在教师不提示的情况下，有多少学生能想到用拼接的方法将两个全等三角形拼成平行四边形来研究呢？为回答这样的疑问，笔者曾随机对某公开课教学后的学生进行问卷调查：你准备用什么方法来推导平行四边形的性质？结果发现90%的学生是从感官认识，少数学生是依据学案的提示自主预习得到的。

事实说明，学生明显缺乏拼接图形的活动经验，而这种活动经验对于平面几何图形的认识是弥足珍贵的。进一步的调研发现，教材在“平行四边形的性质”一节中并没有安排拼图形的活动，而大多教师也没在教学中有意识地组织学生进行拼图的活动。缺少这样的前期孕伏正是造成学生推导平行四边形面积时想不到“拼接法”的重要症结之一。后来研究者建议该校数学教师每当教学“平面图形”这样的内容时，都注意组织学生开展“把几个平面图形剪拼为另外一个平面图形”的活动（又如三角形中位线的性质），主要是由学生自己动手进行“分一分、画一画、剪一剪、拼一拼”等活动，教师则通过“回想、复述、提问”等办法，帮助学生把这种直接操作的经验留下来，在头脑中形成动态表象。

（二）把生活经验提升为数学经验——选准数学活动经验的展开点

初中生的数学认知结构不仅包括已有的“结构性”知识，更重要的是包括大量的“非结构性”经验背景.从某种意义上说，初中数学是“感知数学”的继续和延伸，每个初中生的数学学习背景都是丰富而独特的.因此，教师要善于捕捉生活中的数学现象，引导学生将生活经验与数学经验“有效对接”，经历将生活经验转化为数学活动经验，并将感性经验逐步上升为理性认识的过程.

案例三：如何量出校园里一棵大树的高度呢？

学生们联系生活经验思考，容易想到直接爬到树上去量大树的高度是有危险的，可以利用影子的长度来推算大树的高度，自然地将生活经验转化为数学活动经验. 

 接下来组织学生经历实践活动过程.学生在4个不同的时间里分别测量了30厘米长的竹竿和10厘米长的钢笔的影子长度，并记录下来。结果发现：同物体9：45和14：15的影长是差不多的，中午的影长最短；影子的长度随着时间的变化而变化，呈“U”字形变化.通过进一步分析，学生还发现：在同一时间同一地点，不同物体的长度和其影长是成正比例的：30∶10=33∶11，30∶10=3∶1，30∶10=31.5∶10.5，30∶10=34.5∶11.5…… 

 在交流活动体会时，学生们踊跃发言，有的学生说：这个比例还真神奇，使原本很困难的事情变得简单多了.有的学生说：只有多实践，才能把书本上的知识化为自己的知识.他们在数学活动中深化了对数学知识的理解，积累了解决问题的方法和活动经验.生数学活动经验的积累。 

（三）把知识经验提升为策略经验——提炼数学活动经验的内化点

数学教学内容不仅包括结果性的知识经验，而且包括过程性的策略经验。数学教学如果仅着眼于让学生获得知识经验，那么学生获得的仅是机械般的死知识，难以“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，达到学以致用的目的。而隐性的策略经验往往寓于显性的知识经验中，并与显性知识相伴相随。这就要求教师要创造性地使用教材，从有利于学生运用数学知识解决问题的高度出发，注意引导学生领略与知识经验相伴随的策略经验，实现既长知识又长智慧的目的。

案例四：活动课《走近数独》

教师分别从认识游戏，介绍规则；出示范例，熟悉方法；实战演练，提高技能；畅谈经验，总结全课四个环节授课，总结出数独的基本技巧有基础摒除法、排除法、假设法等；同学们在完成第一题时所在用到的方法就是基础摒除法和排除法；当某个格子的数字不能确定时可能就要用到假设法了。数独游戏简单易学、便携而且老少皆宜。有益于锻炼脑力，并且不受时间、地点、语言的限制，所以他在世界范围内受到广泛的认同和追捧。因为数独对学生的分析、逻辑、推理能力的锻炼非常有效，能测试学生运用排除法、假设法等基本推理的数学运用能力，所以数学工作者特别喜欢它。在这个过程中，学生不仅掌握估算技能，而且能结合情境选择恰当的估算策略，学习到有意义、有价值的数学。

（四）把感性经验提升为理性经验——打磨数学活动经验的“深化点”

数学教学内容是抽象的，对于具体形象思维和动作思维占优势的学生来说，动手实践是他们学习数学的重要方式之一。但让学生动手“做”数学，不能仅仅满足于让学生动手操作解决问题。如果学生的思维仅停留于感性经验的层面上，不能在感性认识中揭示、获取理性的经验，那么他们对数学问题的思考就无法摆脱具体、直观的感性经验的束缚，数学抽象思维能力就不能得到训练与发展。因此，教师要让学生在充分感知的基础上，适时地引导学生观察、思考、发现、比较，揭示出感性经验背后的理性、抽象的数学经验，让学生获取具有概括性、普遍性的数学概念。这样，学生才能学以致用、举一反三，灵活地运用数学概念解决问题。

案例五: 直棱柱教学。制定如下活动过程:首先创设情景，引出课题：1．学生动手操作：让学生用橡皮泥，捏造出自己熟悉的立体图形。2．教师多媒体展示：教师根据学生的作品利用多媒体展示立体图形。然后合作交流，探索新知：问题1：（展示长方体和正方体、圆柱、球、圆锥、棱锥）这是我们最熟悉的立体图形，你能试着将它们分成两类吗？

（教师展示学生的成果，并从众多的分类中,突出从面是平与曲的角度去分类的这一种。目的是引导学生发现：面有平面和曲面之分。从而介绍多面体：像长方体和正方体这样，都是由若干个平面围成的几何体叫做多面体。强调：平面。）问题2：学生练习，下列几何体，哪些是多面体？（加深对多面体的认识）在学生回答后，师：利用多媒体删除两个非多面体。（2）多面体的名称：多面体的面数是几，我们就说它是几面体。（3）棱、顶点的概念：多媒体展示① 回忆长方体棱、顶点，然后小结概念：多面体上相邻两个面之间的交线叫做多面体的棱，几个面的公共顶点叫做多面体的顶点。

合作交流，概括经验

教师介绍棱柱的侧棱、侧面、底面

（学生观察手头的棱柱，同桌互相说说自己手头棱柱的侧棱、侧面、底面）

师：（介绍）棱柱又分为直棱柱和斜棱柱（展示），生活中我们接触比较多的是直棱柱，（欣赏生活中的直棱柱）。体现数学来源于生活，数学又为生活服务。鼓励学生去重点研究直棱柱（多媒体展示）。多媒体展示直棱柱：讨论1：仔细观察这些直棱柱，他们有什么共同之处？

（教师在学生用自己语言描述的基础上，再结合多媒体展示直棱柱，用较规范的语言概括出直棱柱的特征：上下底面是相同的图形；侧面都是长方形；相邻两条侧棱互相平行且相等。并指出直棱柱的侧棱实质上就是直棱柱的高）

讨论2：再仔细观察，这些直棱柱的区别在哪儿？

   （教师在学生用自己语言描述的基础上，再结合多媒体展示直棱柱，给出直棱柱的命名：所以人们通常根据底面多边形的边数将直棱柱分为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱……它们的底面图形的形状分别是三角形、四边形、五边形……）

讨论3：可不可以说直四棱柱就是长方体、正方体？

如果教学仅停留在这几种具体知识上是不够的，必须应用新知，体验成功：1.用一用： 观察下面的几何体中，哪些是直棱柱？如果是分别是直几棱柱？

学生独立完成，再以同桌互批的形式交流，教师巡回指正。

最后提升经验：用图试着表示多面体、棱柱、直棱柱、直四棱柱、长方体、正方体之间的关系，从而把学生个别的、肤浅的实践经验提升为普遍的、抽象的理性经验，使学生从周围熟悉的事物入手，丰富对直棱柱的理性认识，进一步使学生感受学习空间与图形知识的重要性与必要性，扩展他们原有的空间知识，培养他们的想象能力，为今后进一步研究其他的立体图形打下基础。

（五）把失利经验提升为有利经验——激活数学活动经验的“反思点”

课堂教学是师生动态生成的过程，其中学生的失利经验反映了学生的认知困惑，应成为教学的着力点。如果教学漠视学生的失利经验，机械套搬教学预设，就会使教师的“教”背离学生的“学”，难以收到教学的和谐共振效应。让学生在失利中长进，更能生成精彩的教学。因此，教师要善于捕捉来自学生的失利经验，因势利导地把它提升为有效的教学资源，并调整教学策略加以施教，让学生真正学习自己需要的数学。

案例六：利用几何画板复习二次函数图象的活动课

师：今天我给大家提出这样的一个不可能的任务——请在三分钟内画出以下二次函数的图象。要解决这个任务可以利用我们边上的电脑来完成，今天就让我们一起来努力，完成这个不可能的任务！

活动一：访问互联网上关于几何画板的网页，学习一些简单的操作知识和功能介绍。

活动二：由教师利用网络教学，简要介绍利用几何画板画二次函数的图象。

①建立直角坐标系；②绘制二次函数的图象；③马上能看到二次函数的图象。学生自主活动，完成一些二次函数图象的绘制。

完成后，要求学生说说使用后的错误与感受，能不能三分钟内完成？通过机器的快速绘图是不是很容易发现二次函数的一些性质？

活动三：同学们发现，这种方法还是有点麻烦，每次都要输入二次函数完整的式子，有没有更加简便的方法呢？

请学生观察这个不可能的任务中，二次函数可以进行分类，根据二次函数几种通用的表达形式，设置一个程序，只要输入参数a、b、c就可以出现二次函数图象．

教师展示制作几何画板绘二次函数图象的程序，介绍制作方法：

①建立直角坐标系；②新建参数；③根据参数输入二次函数的一般式；④绘制此二次函数图象；⑤改变参数的值，图象也进行了改变；⑥保存到网上的作品上交处．

活动四：分小组合作完成版本更高的程序，美化程序，并利用己有参数计算出函数的最值、对称轴和顶点坐标的情况。①利用参数在几何画板上做一些计算，例如：计算-2a÷b；②利用合并文本标出顶点，并注上坐标；③改变图象、字的色彩和型号；④分工：一部分同学做一些脚本设计，一部分同学进行试验可行性。这样选出最为美观无错的一组为优胜组，并通过全网控制展示程序作品。总结：通过这节课，你有什么体会？大家认为把数学和信息技术结合起来有意思吗？你想有更大的提高吗？

这样，把学生的失利经验提升为有利的教学资源，能让学生在验证中完善自己的知识经验，让课堂更具“数学思考的味道”。经常引导学生反思，既使所学的知识、技能、思想得到巩固和提升，又使学生逐渐养成及时反思、善于反思这种宝贵的学习习惯、生活习惯。

确定数学活动经验的“反思点”，可以从以下四个方面进行捕捉：一是数学活动经验里的知识性成分；二是数学活动经验里的思想和方法性成分；三是数学活动经验里有体验性成分，即在活动过程中所产生的情绪体验；四是数学活动经验里的观念性成分，即活动过程中所形成的意识和信念，如应用意识、创新意识、做事的信心与信念等。

数学课堂需要实践，需要学生亲身经历，学生也主要从自已的生活经验，已有的数学知识经验，以及先天具有和后天培养的思维能力出发。通过数学活动，让学生感受“经历”知识的形成过程，帮助学生建构数学模型，获取具有数学本质的数学活动经验。正如波利亚指出：“学习任何东西，最有效的途径是自己去发现”。作为一线数学教师，我们更应该站在为学生终身发展的高度，努力与学生一同实践，在教学中开展一切有现实意义的数学活动，促进学生提升数学活动经验，为学生的数学素养多元化发展作出自已不懈的努力！

参考文献:

[1] 武捷 《促进数学基本活动经验积累的教学策略研究》[M]：南京师范大学出版社，2014

[2] 张静  数学新课程与数学活动的教学[J]  通化师范学院学报  2006，17（6）