十二中学数学组  朱从斌

一、教学目标

知识目标：

1．会灵活应运相似三角形的性质定理．解决有关问题。

能力目标：

2 ．进一步培养学生类比的数学思想．情感目标 ：

3．通过学习，养成严谨科学的学习品质

二、教学重 点、难点、疑点及解析

1．重点是相似三角形 性质定理的应用．

2．难点是相似三角形的判定与性 质等 有关知识的综合运用．

三、教学方法

新授课．

四、教学过程

(一)复习提问

上节课我们学习了相似三角形的三个性质定理，下面我请同学回答这三个定理的内容？

性质定 理1：相似三角形对应高的比，对应中 线的比和对应角 平 分线的比都等于相似比．

性质定 理2：相似三角形周长的比等于相似比

性质定 理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方

（二）新课讲讲

例1:如图△ABC的面积为25 ，DE∥BC，分别交AB,AC于点D,E，如果△ADE的面积

为9，求 的值。

分析:要求 的值，由性质定 理3，相似三角形面积的比等于

相似比的平方，求出 ,再应用等比性质求出 。

解：∵    DE∥BC       ∴    △ADE～△ABC

∴   S△ADE:S△ABC  = AD²：AB²  =  9：25

∴           ∴   

例2：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

分析：如图由正方形PQMN得，PN∥BC,所以△APN～△ABC

     设正方形边长为X毫米，则PQ=ED=PN=X；

所以 ,即 ，解方程得。

解:    设正方形边长为X毫米，则PQ=ED=PN=X；

∵   PN∥BC       ∴   △APN～△ABC

∴   ,即

解得：X=48

答：正方形边长为48毫米.

变式1: 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比 2 ：1，幷且矩形的长边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的长和宽。

解:    设矩形宽为PQ=X毫米，则长PN=2X毫米；

由题意知ED=X毫米；

∵   PN∥BC          ∴   △APN～△ABC

∴   ,即

解得：X=    2X=         答：矩形边长为 毫米，宽为 毫米。

变式2：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个面积最大的矩形零件，并且矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个这个最大矩形零件面积的长和宽。

（提示：这个问题可以变换成如下问题来求：

（1）若宽PQ=X毫米;长PN=Y毫米；写出Y于X的函数式。

（2）若宽PQ=X毫米；矩形面积为S平方毫米，写出S于X的函数关系式，并求出S最大时，X的取值。）

解：设矩形宽PQ=X毫米;长PN=Y毫米

∵   PN∥BC

∴   △APN～△ABC

∴   ,即

∴   Y=

∴S矩形PQMN=X( )= =

当X=40时，矩形PQMN面积最大，所以Y= =60

 答：最大面积矩形长为60毫米，宽为40毫米。

变式3：如图，△ABC，BC=120，高AD=80，P为线段上一动点，过P作PN∥BC,交AC于点N

以PN为边向下作正方形PQMN,设PN长为X,与△ABC重叠面积为S。

（1）       求出S与X的函数关系式；

（2）       当X取何值时，重叠面积最大。

(1)   解: ∵   PN∥BC∴   △APN～△ABC 

  ∴   ,即

解得：X=48

当0＜X≤48时，S =

当48＜X＜120时,设PE=Y

∵   PN∥BC

∴   △APN～△ABC

∴  

∴   Y=

∴S=X( )=

(2) 当0＜X≤48时，S = ;S最大值为2304

当48＜X＜120时，S = = ,当X=60时，S最大值是2400.

所以当X=60时，重叠面积最大。

（三）小结

下面，请同学总结下我们今天所学内容。

（四）布置作业

（1）课本P84页；1,2,3,4